sistem pertidak samaan linear

A.Sistem Pertidaksamaan Linear
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Masih ingatkah Anda dengan konsep pertidaksamaan linear? Di Kelas X,
konsep tersebut telah Anda pelajari tentang bentuk dan penyelesaiannya.
Di Kelas X pun Anda telah mempelajari persamaan linear dua variabel
baik bentuk-bentuknya maupun penyelesaiannya. Pada subbab ini akan
dipelajari pertidaksamaan linear dua variabel. dan suatu keuntungan
apabila Anda pernah memahami konsep pertidaksamaan linear dan
persamaan linear dua variabel.

 Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk
pertidaksamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear dua variabel
memiliki dua variabel (peubah). Adapun pertidaksamaan linear satu
variabel hanya memiliki satu peubah. Begitu pula dengan persamaan
linear dua variabel sama dengan pertidaksamaan linear dua variabel,hanya saja
berbeda dalam tanda ketidaksamaannya. Pada persamaan lineardua variabel,
digunakan tanda hubung “ = ” sedangkan pertidaksamaan linear dua
variabel digunakan tanda hubung “ >, <, =, atau = “.

Definisi Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika
yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu
dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan
yang dimaksud adalah >, <, =, atau =.
DefinisiDefinisi
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan
bentuk umum persamaan linear dua variabel. Seperti yang sudah
disinggung sebelumnya, perbedaannya terletak pada tanda ketidaksamaan.
Pada persamaan digunakan tanda “ = ”, sedangkan pada pertidaksamaan
digunakan tanda “ >, <, =, atau = “. Berikut bentuk umum dari
pertidaksamaan linear dua variabel.
ax + by > c
ax + by < c
ax + by = c
ax + by = c
Dengan :
a = koefisien dari x, a . 0
b = koefisien dari y, b . 0
c = konstanta
a, b, dan c anggota bilangan real.

Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

2

Anda telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umum
dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapat
membedakan yang manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan
berikut yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel.

1. 2x < 15 4. x2 + 2y = 5
2. 2x + 3y =6 5. –x = y + 1
3. xy + x > 3
Manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut yang
merupakan pertidaksamaan linear dua variabel? Dari ke lima nomor
pertidaksamaan tersebut, yang merupakan pertidaksamaan linear dua
variabel adalah pertidaksamaan nomor 2 dan 5. Pertidaksamaan nomor
1, merupakan pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan
nomor 3 bukanlah pertidaksamaan linear dua variabel karena pada
pertidaksamaan tersebut memuat perkalian variabel. Pertidaksamaan
nomor 4 juga bukan pertidaksamaan linear dua variabel karena ada
variabel yang derajatnya lebih dari satu.

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupa
pasangan terurut (a, b) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel.
Semua penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukan
dalam suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafik
pada bidang koordinat cartesius.

Langkah-langkah yang harus diambil untuk menggambarkan grafik
penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel, hampir sama dengan
langkah-langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear dua
variabel.

Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan linear dua variabel.

a. Ganti tanda ketidaksamaan >, <, =, atau = dengan tanda “ = “.
b. Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan
linear dua variabel dengan kedua sumbu.
..
Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik (x,0)
..
Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik (0,y)
c. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik
(x,0) dengan titik (0,y). Jika pertidaksamaan memuat > atau <,
gambarkanlah grafik tersebut dengan garis putus-putus.
d. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian
pertidaksamaan.
e. Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan
penyelesaian pertidaksamaan.

TokohTokoh
MatematikaMatematika
George Bernard Dantzig
(1914 - 2005)


George Bernard Dantzig
mendapat gelar Ph.D.
(Philosopy Doctor) dari
Universitas California. Pada
tahun 1947 ia bekerja di
bagian perencanaan Angkatan
Udara Amerika Serikat.
Semua orang mengetahui
bahwa sangat sulit
mengokordinasikan persediaan,
peralatan dan prajurit secara
efisien. Akan tetapi, Dantig
berhasil memformulasikan
Angkata Udara Amerika Serikat
sebagai masalah program
linear. Masalah yang dihadapi
memuat beribu variabel yang
sulit dipecahkan dan Dantzig
berhasil mengkoordinasikan
persediaan, peralatan, dan
prajurit secara efisien.

Sumber: Finite Mathematic and Its
Application,1998

Program Linear 3
Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan
3x + 4y = 12, x, y OER.
Jawab:
3x + 4y =12, ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis
3x + 4y =12.
• Titik potong dengan sumbu x, y = 0
3x + 4(0) = 12 ¤ 3x = 12 ¤ x = 4
Contoh Soal 1.1

1 32 4
1
2
3
0
(0, 3)
(4, 0)
y
x
3x + 4y =12
• Titik potong dengan sumbu y, x = 0
3(0) + 4y = 12 ¤ 3x = 12 ¤ y = 3
• Titik potong dengan sumbu koordinat di (4, 0)
dan (0, 3). Diperoleh grafi k 3x + 4y =12.
Ambil titik uji (0, 0) untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan 3x + 4y =12 , diperoleh 3(0) + 4(0) = 12
0 = 12 (Benar)
Dengan demikian, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan
3x + 4y = 12
Himpunan penyelesaian pertidaksamaanadalah daerah di bawah garis batas
(yang diarsir).
1 32 4
1
2
3
0
(0, 3)
(4, 0)
y
x
3x + 4y = 12
Daerah himpunan
penyelesaian
(0, 3)
1 32 4
1
2
3
0
(0, 3)
(4, 0)
y
x
3x + 4y =12
• Titik potong dengan sumbu y, x = 0
3(0) + 4y = 12 ¤ 3x = 12 ¤ y = 3
• Titik potong dengan sumbu koordinat di (4, 0)
dan (0, 3). Diperoleh grafi k 3x + 4y =12.
Ambil titik uji (0, 0) untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan 3x + 4y =12 , diperoleh 3(0) + 4(0) = 12
0 = 12 (Benar)
Dengan demikian, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan
3x + 4y = 12
Himpunan penyelesaian pertidaksamaanadalah daerah di bawah garis batas
(yang diarsir).
1 32 4
1
2
3
0
(0, 3)
(4, 0)
y
x
3x + 4y = 12
Daerah himpunan
penyelesaian
(0, 3)
Gambar 1.1: Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 4y= 12

Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 4
Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y > 15.
Jawab:
Ganti tanda > pada 5x + 3y > 15 menjadi tanda “ = “ sehingga diperoleh
5x + 3y = 15.
Titik potong dengan sumbu x , y = 0
5x + 3 (0) = 15 ¤ 5x = 15 ¤ x = 3
Titik potong dengan sumbu y, x = 0
5 (0) + 3y = 15 ¤ 3y = 15 ¤ y = 5
sehingga diperoleh titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y, masing-
masing di titik (3, 0) dan (0, 5). Dengan demikian, grafi knya adalah
Contoh Soal 1.2
(0,5)
(3,0)
1
1 2 3
2
3
4
5
0
y
x
5x + 3y = 15
Gambar 1.2 : Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y =15

Ambil titik uji (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian dari
5x + 3y >15
5 (0) + 3 (0) > 15

0 > 15 tidak memenuhi
Oleh karena (0, 0) tidak memenuhi 5x + 3y > 15 maka himpunan
penyelesaiannya berada di sebelah kanan kurva. Kurva pertidaksamaan
tersebut digambarkan dengan garis putus-putus.

1
1 2 3
2
3
4
5
0
y
x
5x + 3y = 15
Daerah himpunan
penyelesaian
5x + 3y > 15
Gambar 1.3 : Daerah himpunan penyelesaian 5x + 3y > 15

ugasT
TT
ugas 1.11.1
Buatlah dua buah pertidaksamaan linear dua variabel. Kemudian, tentukan
daerah himpunan penyelesaiannya.